domingo, 11 de septiembre de 2011

Historia de la definición Épsilon-Delta


Muchos estudiantes de matemáticas se han encontrado, a veces en edades demasiado tiernas, con la definición “épsilon-delta”. Aunque encontrarse quizás no sea la expresión más adecuada. Yo diría que han “chocado” frontalmente con esa definición, que es mucho más ilustrativo, ya que tiene connotaciones de accidente. Es un tipo de definición que se emplea para definir cosas como límite numérico, límite funcional, continuidad de una función en un punto o derivada.

Esta definición se debe a un insigne matemático, Weierstrass (1815-1897) y es una maravilla de ingenio y precisión y, en cierta forma, un broche de oro a una cuestión (la de lo infinitamente pequeño) que ha tenido una andadura matemática de siglos. Yo no la entendí hasta el primer año de carrera. Y la entendí porque me vi obligado a explicarla a gente que no la entendía. En mis tiempos de estudiante se introducía en sexto de bachillerato, en los planes actuales en segundo (más o menos a los 17 años). Que figure tan tempranamente pude ser considerado un éxito cultural, pero yo personalmente lo califico de refinada crueldad mental.

Aquí va la definición:

Se dice que una función real de variable real es continua en un punto a si se cumple que:

∀ ε>0, ∃ δ>0 tal que |x-a| <δ ⇒ |f(x) - f(a)|<ε

Tonto el que no lo entienda.

Podríamos extendernos ahora en un par de cuestiones que sugieren este tipo de definiciones en la medida en que afectan a la didáctica de las matemáticas. La primera es la que hace referencia al “autismo” del que han adolecido durante mucho tiempo algunos profesores de matemáticas y que se traduce en la siguiente reflexión: “no puedo entender porqué que tú no entiendes esto que yo entiendo tan perfectamente” (mi paciencia como pedagogo tiene un límite). La segunda cuestión, consecuencia inmediata de la anterior, es que si no lo entiendes entras a formar parte del grupo de los que “no entiende”. Un grupo en el que hay que renunciar a determinados objetivos y simplificarles las cosas para que puedan aprobar la asignatura, lo que lleva a lo que podríamos denominar como un cierto “clasismo”: en mi curso están los alumnos inteligentes, que entienden, y los que, por una razón u otra “no llegan”. Bueno, no pasa nada, como buen profesional que soy intentaré gestionar de forma adecuada ambos grupos.

Sin embargo, lo que propongo aquí es abandonar el terreno de las descalificaciones, sea de profesores o alumnos, para formularnos una pregunta de más calado. ¿Qué demonios hace una definición como la del épsilon-delta en el programa de secundaria?

Me gustaría mucho que alguien me contestara a esa pregunta.

Hay otra. ¿Cómo es que el programa de matemáticas no cambia prácticamente nunca?

Y la última: ¿Y si resulta que la raíz del problema que tenemos actualmente con la enseñanza de las matemáticas está en el propio programa?

Fuente: http://www.sangakoo.com

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